quinta-feira, 10 de novembro de 2011

Propriedades da Função Exponencial


  • Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;
  • A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
  • A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
  • Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a € R+* e a ≠ 1 é bijetora
·                     A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo

·                      teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por 


·                     exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do
 artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, 
contradizendo a definição da função exponencial;

·                     A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como   imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que 
seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;


·                     A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1; Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o  par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo
  no ponto de ordenada 1;


·                     Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);

·                     Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);

·                     No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;

·                     A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente
    de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;

·                     Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;


·                     Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;

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