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quinta-feira, 10 de novembro de 2011
Exemplos de exercícios. [2]
Qual o domínio da função exponencial y = 2x ?
Solução: sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja:
D = R.
Qual o conjunto imagem da função y = 2x ?
Solução: sabemos que o conjunto imagem de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por y. Ora, como y = 2xe x Î R, vemos facilmente que 2x será sempre um número positivo e, portanto, como y = 2x , concluímos que y será sempre positivo. Logo, o conjunto imagem da função dada será igual a Im = {x ÎR | x > 0}. Este conjunto pode também ser representado na forma Im = R+* , onde o sinal de asterisco, por convenção matemática, exclui o zero.
Chama-se equação exponencial toda equação cuja incógnita figura num expoente. Nestas condições, pede-se resolver as seguintes equações:
a) 4x – 20.2x + 64 = 0
Solução: Sabemos que 4x = (22)x = (2x)2 . Utilizando o artifício de fazer 2x = y (isto chama-se mudança de variável) vem, substituindo: y2 – 20y + 64 = 0. Ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 16 ou y = 4. Substituindo na mudança de variável feita acima, teremos: 2x = 16 ou 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 4 ou x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 4}.
Solução: sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja:
D = R.
Qual o conjunto imagem da função y = 2x ?
Solução: sabemos que o conjunto imagem de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por y. Ora, como y = 2xe x Î R, vemos facilmente que 2x será sempre um número positivo e, portanto, como y = 2x , concluímos que y será sempre positivo. Logo, o conjunto imagem da função dada será igual a Im = {x ÎR | x > 0}. Este conjunto pode também ser representado na forma Im = R+* , onde o sinal de asterisco, por convenção matemática, exclui o zero.
Chama-se equação exponencial toda equação cuja incógnita figura num expoente. Nestas condições, pede-se resolver as seguintes equações:
a) 4x – 20.2x + 64 = 0
Solução: Sabemos que 4x = (22)x = (2x)2 . Utilizando o artifício de fazer 2x = y (isto chama-se mudança de variável) vem, substituindo: y2 – 20y + 64 = 0. Ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 16 ou y = 4. Substituindo na mudança de variável feita acima, teremos: 2x = 16 ou 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 4 ou x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 4}.
b) 2x - 3 = (2x - 3)2
Solução: Fazendo 2x - 3 = y, vem substituindo: y = y2 . Daí vem que y2 – y = 0 , o que é equivalente a y(y – 1) = 0 . Ora, para que o produto seja nulo deveremos ter y = 0 ou y = 1. Voltando à mudança de variável teremos: 2x – 3 = 0 ou 2x – 3 = 1. Vamos resolver cada uma separadamente.
2x – 3 = 0 Þ 2x = 3 ; da teoria dos logaritmos tiramos imediatamente que x = log23
2x – 3 = 1 Þ 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; log23}.
c) 3x+1 + 81/3x = 36
Solução: A equação dada pode ser reescrita como: 3x . 31 + 81/3x – 36 = 0
Fazendo a mudança de variável 3x = y vem: 3y + 81/y – 36 = 0
Multiplicando ambos os membros por y ≠ 0 (observe que y está no denominador e portanto, não pode ser igual a zero), obteremos: 3y2 + 81 – 36y = 0
Arrumando a igualdade anterior fica: 3y2 – 36y + 81 = 0. Vejam que podemos simplificar a equação, dividindo ambos os membros por 3, resultando:
y2 – 12y + 27 = 0 ; ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 9 ou y = 3. Voltando à mudança de variável teremos: 3x = 9 ou 3x= 3. Da primeira vem que x = 2 e da segunda vem que x = 1. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 1} ou de uma forma equivalente: S = {1; 2}.
Solução: Fazendo 2x - 3 = y, vem substituindo: y = y2 . Daí vem que y2 – y = 0 , o que é equivalente a y(y – 1) = 0 . Ora, para que o produto seja nulo deveremos ter y = 0 ou y = 1. Voltando à mudança de variável teremos: 2x – 3 = 0 ou 2x – 3 = 1. Vamos resolver cada uma separadamente.
2x – 3 = 0 Þ 2x = 3 ; da teoria dos logaritmos tiramos imediatamente que x = log23
2x – 3 = 1 Þ 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; log23}.
c) 3x+1 + 81/3x = 36
Solução: A equação dada pode ser reescrita como: 3x . 31 + 81/3x – 36 = 0
Fazendo a mudança de variável 3x = y vem: 3y + 81/y – 36 = 0
Multiplicando ambos os membros por y ≠ 0 (observe que y está no denominador e portanto, não pode ser igual a zero), obteremos: 3y2 + 81 – 36y = 0
Arrumando a igualdade anterior fica: 3y2 – 36y + 81 = 0. Vejam que podemos simplificar a equação, dividindo ambos os membros por 3, resultando:
y2 – 12y + 27 = 0 ; ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 9 ou y = 3. Voltando à mudança de variável teremos: 3x = 9 ou 3x= 3. Da primeira vem que x = 2 e da segunda vem que x = 1. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 1} ou de uma forma equivalente: S = {1; 2}.
Propriedades da Função Exponencial
- Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;
- A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
- A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
- Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a € R+* e a ≠ 1 é bijetora
· A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo
· teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por
· exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do
artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos,
contradizendo a definição da função exponencial;
· A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que
seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
· A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1; Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo
y no ponto de ordenada 1;
· Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
· Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
· No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
· A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente
de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
· Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
· Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
quarta-feira, 9 de novembro de 2011
Função exponencial
são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R+* tal que ƒ(x)= ax em que a € R, 0<a≠1.O a é chamado de base e o x de expoente.
A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.
Ela também é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
O valor de e1 é aproximadamente 2.718281828Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
ax = exln aPara todo a > 0 e .
A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a0 = 1a1 = aax + y = axay
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:
O que é uma Potência?
Potência é a grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma fonte a cada unidade de tempo. Em outros termos, potência é a rapidez com a qual uma certa quantidade de energia é transformada.Ou seja, ela indica quantas vezes a base se repete.
Exemplo.
na igualdade : 4³ = 64.
A base é 4. O expoente é 3. A potência é 64.
A base é o numero que será multiplicado.O expoente é a quantidade de vezes que aquele numero será multiplicado.
E finalmente a POTÊNCIA, é o resultado.
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